2018年北华大学数学与统计学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].
（1）试比较【答案】 （1
）
由y 的任意性可知（2）若显然
，
使
下面证明上面条件为充分条件，
在[0, 1]上连续,
，使
故
2． 证明级数
【答案】因为所以当
时, 数列
条件收敛.
. 所以该级数为交错级数. 令
单调递减, 且
收敛. 因为
而
3． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则
【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得
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与
，
有
的大小并证明之；
成立的（你认为最好的）充分条件.
时于任意的x 都成立，
则
（2）给出并证明使等式
. 则
由莱布尼茨判别法知级数
发散, 所以发散. 故原级数为条件收敛.
其中n 为曲面S 的外法线方向. 和
, 则
由l 方向固定, 都是常数, 故, 由高斯公式得
二、解答题
4．
试求三角多项式
的傅里叶级数展开式
. 【答案】
因
是以
为周期的光滑函数, 所以可在
上展开为傅里叶级数
,
所以在
上有
的傅里叶展开为
即其傅里叶级展开是其自身.
5． 判别下列广义积分的收敛性:
（1）
（2）
.
, 所以当p>1时, 取
由于此处当
, 故时, 因为
收敛.
, 所以当p —1<1时. 即当p<2时,
收敛. （p 是固定的）,
.
【答案】（1）此广义积分有瑕点x=0与
当则有
时,
因为
, 有
以上两方面结合起来, 当1 第 3 页，共 26 页 （2）此广义积分有瑕点x=0与x=1. 当 时, 因为 , 有 , 所以只要取 , 则有 由于此处当 时, 因为 , 故 收敛. , 所以 发散. 以上两方面结合起来, 则原广义积分发散. 6． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛, 并说明理由: （1）（2）（3）（4）（5） 【答案】（1）任意 设 则 所以 在D 上一致收敛, 且 设 则 故从而（3）由 表达式可知 则有 在D 上一致收敛, 且 当x=0时, , 所以 故显然, 对 不妨设 （4）任意给定的X , 有 从而 则 在 设 第 4 页，共 26 页 . （2）任意 当0 所以 在[0, 1）上不一致收敛. 上也不一致收敛, 即不内闭一致收敛.