2018年安徽大学数学科学学院627数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 与g 是定义在
证明:若
【答案】因
为
收敛. 又因
为
法
, 也收敛.
2． 设f （x ）在[0, 1]上有一阶连续导数, 证明存在
与
上的函数, 对任何u>a, 它们在[a, u]上都可积.
收敛, 则
与>并
且
和
也都收敛.
都收敛, 所
以
, 根据比较判别
, 使
【答案】令
在上式中取x=1, 即得
则F （x ）在[0, 1]上有二阶连续导数. 对F （x ）应用泰勒公式, 有
3． 求证含参量广义积分
【答案】任取（1）当a>0时, 因为（2）当a=0时,
且充分小, 使得
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 ①若 ②若故当 则 因为广义积分时, 即 时 , 关于 时, 所以广义积分 收敛, 所以存 , 当 时 在[0, b] 在[a, b]上一致收敛. 综合①, ②讨论, 当 上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积 的任何有界闭区间上一致收敛. 二、解答题 4． 试作函数 【答案】 在区间 的图像. 是以 为周期的周期函数, 是一个奇函数, 它的定义域为R , 值域为 上的表达式为 它的图像如图所示 . 图 3 5． 设V 是R 中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面外向法矢与正x 轴的夹角, 求 【答案】由高斯公式 令 由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面 而平移变换不改变立体的体积. 所以 6． 设 【答案】令 , 则 因为 所以 记 , 对固定的n , 在 上应用第一积分中值定理, 有 是, 的 对称，且 从而 , 求 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 9 其中 , 通过计算可得 故 . 7． 求曲面 【答案】 由于 所以曲面面积为 8． 展开 为 上的傅里叶级数. 另外 因此 在 上的傅里叶级数为 9． （1 ）设级数 （ 2）讨论级数 在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项 在x>0上的一致收敛性. , 使得 即得 在X 上一致趋于零. 可知, 对任意固定的x 收敛. 但 的面积, 其中a , b 是常数满足 . 【答案】因为f （x ）为偶函数，所以 在X 上一致趋于零; 【答案】（1）由一致收敛原理, p>1, 有 （2）对固定的x>0, 由
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