2018年安徽工业大学数理科学与工程学院711数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设f （x ）在（x ）
在点（x , f （x ））的切线在x 轴上的截距, 试求极限
【答案】利用切线方程求出
.. 将f （u ）在x=0作泰勒展开:
（在0与u 之间）.
（这里利用了当
时
,
这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是
对
2． 重排级数
【答案】注意到
存在
及, 使得
存在
, 使得
如此下去, 存在
及
使得
这样得到一个重排的级数
因
使它成为发散级数.
. 均是发散的正项级数, 从而存在n 1, 使得
和
使用洛必达法则, 可得
. 故原极限=
上二次连续可微
,
且
. 又设u （x ）表示曲线y=f
发散, 可得此重排级数必发散.
3． 讨论下列函数
的连续性与可导性. 【答案】对
, 取
, 在
内对任一有理数X 均有
,
对任一无理数X 均有f （X ）=0.所以f 在同理, 对当x 0=0时, 由于
, 所以f 在
处都不连续, 当然也不可导. 处连续, 但由于
在X 。处也不连续、不可导.
在时极限不存在, 因而f
在处不可导.
对g , 由于
所以 4． 设
【答案】令
, 则
因为
所以
记
, 对固定的n , 在
上应用第一积分中值定理, 有
9
其中
, 通过计算可得
故
.
5． 求极限
.
, 求
. 当然g
在
处也连续.
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令
显然, f （x , y ）在
上连续, 由连续性定理, 有
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原极限=
6． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性:
（
l ）
（2
）（3）（4）（5）（6
）
【答案】（1）设
, 则
故
时
,
所以对任意
取
. 当n>N时, 对任意的.
由柯西准则知, 原级数在[﹣
1, 1]上一致收敛. 或因为数在
在[﹣
1,
1]上一致收敛
. （2）设
上不一致收敛. （3）设从而部分和数列
所以
故原级数在（4）设
内不一致收敛. , 故只需考虑级数
在
上的一致收敛性.
则
取
则
且
, 所以
而级数
收敛, 从而级
. 及
,
总有