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一、证明题

1． 设

证明:（1）【答案】（1）记

. （2）

为的代数余子式（

）, 于是

因

对一切的j=l, 2, …, n_l都成立. 所以（2）关于齐次函数的欧拉定理有

而u

是

次齐次函数, 所以

2． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列

【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）令

则

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总有

都有一定存在

有

.

则称a 为数集A 的上确界, 即

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3． 设

（

1

）

均有【答案】

处处连续

,

对任何

x 有连续导数；

上, 当足够小时, 可使

）

.

与

一致逼近（即任给

,

对一切

其中为任何正数, 证明:

（2）在任意闭区间

因为

处处连续, 所以

连续, 即

对任何x

有连续导数

.

所以由洛必达法则可得

故对任给

当足够小时, 对一切

均有

即所证结论成立.

二、解答题

4． 求下列函数的极值:

【答案】（1）由

, 即

,

得f （x ）的稳定点为

, .

和

, 因为

,

, ,

,

由极值的第三充分条件知, f （x ）在x=0处不取极值. 因为

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由极值的第二充分条件知, f （

x ）在（2）

处取极大值, 极大值为

由

； 因为（3）

得稳定点为.

因.

故x=l是f （x ）的极大值点, 极大值为

, 故x=－1是f （x ）的极小值点, 极小值为

由（1） =0

;

因（4

）

由

5

． 若

的收敛半径为

, 且

收敛, 则

也收敛, 且

【答案】因为

所以

因为

,

且

收敛, 所以

在

上一致收敛, 故在[0, A]上可逐项积分, 因而

第 4

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得稳定点为x=1和

, 故

. 因, 故

x=1是

f （x

）的极小值点, 极小值为f

.

是f （x ）的极大值点, 极大值为

得稳定点为x=1, 因

, 故是f （x

）的极大值

点, 极大

值为