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一、解答题

1． 设是开集.

【答案】（1）任取可微, 连续;

（2）对于

时, .

则由定理可知

使开集

由于

所以y 0

为内点, 故f （D ）为开集.

2． 若x=1, 而

【答案】

,

当当

3． 求下列由参量方程所确定的导数

（1）（2）【答案】（1）故

当（2

）故

4． 求下列极限（其中n 皆为正整数）.

（1）

（2）

时,

处 处

时, 时

,

, 则

使

, 因为

是开集f :

且满足, 在D 上

, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时

则f （D ）

, 问对于, 与dy 之差分别是多少?

,

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（

3

）（5

）

【答案】 （1）（2）（3）

（4）

（4）由公式

得

（5）由性知得

可知, 当

故

时, 有

. 当

时, 有

根据迫敛

5． 求下列函数在

x=l处的泰勒展开式

:

（1）（2）（

3）【答案】（1

）

所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为

（2）因所以

（3）因

而

在x=0处的幂级数展开式为

这

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所以

6． 设函数f （x ）满足条件:性.

【答案】因为n=0, 1, 2, …时,

其中所以

从而胡 7． 设

【答案】因为

, 试求极限

, 所以

8． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证为了确定

令

内严格递增.

时, 则

, 即,

, 则

问此函数在上的傅里叶级数具有什么特

同理可求

因此, 函数f （x ）在

内的傅里叶级数的特性是

.

;

. 则

又因f （x ）在x=0连续, 所以当

, 令

则

的符号, 令

格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

. 故 于是在

内, f （x ）严

.