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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似

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使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则也不是线性变换，

比如给

则A 与B （ ）.

【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 5． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

=（ ）.

则线性方程组（ ）•

二、分析计算题

6．

设

【答案】将

是五维欧氏空间V 的一组标准正交基

，

求

正交化得

的一组标准正交基.

其

中

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再单位化，即得

的一组标准正交基：

7． 设f （x ）是一个复系数多项式，证明：

是实系数多项式；

则f （x ）无实根，问：反之如何？

【答案】①设其中②由故项式.

③反证法. 若f （x ）有实根故

也是.

的根，这与

则由

得矛盾.

不一定互素. 例如，

就是一例.

8． 设V 是有限维向量空间，变换）. 证明：

是同构映射，dimV 是偶数.

【答案】由是

故综上所述

类似可得

有

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是f （x ）的所有系数换成其共轭复数后所得到的多项式，

并令反之亦然.

. 两边取共辄，并根据其轭复数性质得

但d （X ）次次且首系数都是1，故即d （X ）是一实系数多

反之，若f （x ）无实根，则f （x ）与

是V 上的两个线性变换，且有（1是恒等

则

于是

则存在

于

这

里

注

意

到

故