2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
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均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
的3个线性无关的解，为任意
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
5．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 证明：二次型
【答案】设化为规范形：如
果如果则令
代入
得一组
此时
所以
不是半正定
即
是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等. 经可逆线性替换
的正惯性指数等于秩，那么规范形为
：
是半正定的.
的正惯性指数不等于r ，即小于r ，则其规范形为：
因
此
的.
7． 把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间
，判断向量组
【答案】向量组为此，设有若
则有
是否线性相关？说明理由.
这里的P ，q , 是互不相同的素数.
是线性无关的，可用数学归纳法证之. 使得
当n=l时，结论显然成立；假设结论对于n —1成立，下证对于n 结论也正确.
这是不可能的.
若
则有
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