2017年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
4． 设A 是矩阵，
A. 如果
则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
B. 如果秩则有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
的一组基, 则由
基
到基
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5．
设
秩
未知量个数，
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设
是关于内积
正交化：易知
于是得正交基：
再标准化：由于
且
故得
7． 设W
是I
【答案】设
这里
作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.
【答案】先将基
的一标准正交基为：
的非零子空间，对于W
中每一个向量
n , 证明：
则a 线性无关.
因为
或全为0,
或
全不为