当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

在

上连续，在

【答案】

设函数

值定理，

可得

其中

由此可得到

其中

2． 证明下列不等式：

【答案】(1)

因为等于1或

所以由积分不等式

即(2) 因为在(3) 由于在

上，

且函数不恒等于1和所以有

上，

所以有

第 2 页，共 45 页

内除仅有的一个点外都可导. 求证：处不可导. 分别在

上和在

上对

使得

用微分中

在点

和. 将以上两个等式相加，可得

在上连续，且不恒

(4)

设

则

得

在

上惟一的驻点为

为函数

为

在在

可验证它是极大值上的最大值，

又

上的最小值，

从而

点，而可导函数惟一的极大值必为最大值，

所以

且

由此得

故

3． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数函数

偏导连续，证明：

【答案】(1) 由高斯公式：

令

有

即

(2) 由(1) 式用

代替可得

类似地可以得出：

三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得

4． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

上应用罗尔中值定理知，

存在

即

至少有n 个相异实根. 再对

在n-1个区间

第 3 页，共 45 页

在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，

有n+1个相异的实根，则方程

并且

使得

.

至少有对f (x ) 在

的n+1个相异的实根为

上应用罗尔中值定

理知，存在续下去可得 5． 设

使得

至少有n-2个相异实根

与

即. 至少有n-1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列，

【答案】设级数

故

级数

故若又有

收敛，则也收敛；若发散，则也发散.

故若同.

6． 设f 为

(1)

(2)

上的连续函数，证明： 在在

上收敛；

上一致收敛的充要条件是

上连续，故f 在

即

在

上收敛，且收敛于

(2) 必要性

函数

因为

当

在

上连续，从而

分成两部分讨论.

又因

处连续，故对任意

第 4 页，共 45 页

收敛，则也收敛；若发散，则也发散. 由上可知两级数的敛散性相

上有界，设

所以

【答案】(1) 因f 在

上连续及

在上一致收敛，可得其极限

充分性 可考虑将

故时，

存在