2017年内蒙古民族大学数学学院706数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
【答案】设
上连续
证明：存在
中最小者为
最大者为
使得
则有
若若
理，可以得知存在
2． 按定积分定义证明
：
【答案】
对于
为
从而
可取为任何正数，只要使
就有
根据定积分定义有
3． 设
求证：【答案】
在
由
且
上一致连续.
推知
使得当
又由
推知
使得当
时，有
所以
在
另一方面，
因为函数
使得
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或.
对
则取在区间使得
任取
就能满足题中要求.
上应用连续函数的介值性定
的任一分割相应的积分和
时，有
上一致连续，
于是
这样，当
①若②若③若或
(一
4． 证明函数
在取
5． 证明：若f 在点连续，则是否必连续？
【答案】因为f (x ) 在
点
(1) 由不等式故(2) 由(3) 当
即
连续，所以对任给
的知，由在点连续.
在点
连续.
则
与
为
财，
而|f|
在连续，故
存
在
使得
当
时
也在点
连续. 又问：若
在I 上连续，那么f 在I 上
. 由⑴式得，由(2) 式得，
则有
上一致连续.
由不等式
得
. 限制’
时
，
时，
有
即
. 当
时，其
中故
上是严格减函数. 于是
当
，
则当
且
时
由(3) 式知
根据定义，即得
在
【答案】对任意的
在上连续时，f
在上不一定连续. 例如
在R 上处处不连续.
常值函数，在R 上处处连续，但 6． 在R 上二次可导，
上恰有两个零点.
【答案】先证当因为
证明：
的时候，
所以，当x 的绝对值足够的大的时候，不妨设当当
时，
时，
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在R
.
.
同理，当由又由于
>的时候，可知
先单调减少，再单调递增.
各有一个零点.
为递增函数。所以
根据连续函数的零点存在定理知，
二、解答题
7． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：
(1) (2)
【答案】(1) 因为
而当
时有
所以
即当当
时f (x ，y ) 连续. 时，由于
所以f (X ，y ) 在点(0, 0) 不连续. (2) 函数的定义域为当
上任一点
当
时有
于是
则f (x , y) 在y 轴上处处连续，故f (x , y) 在其定义域上是连续的.
8． 求极限
【答案】令
（k 为自然数）.
由
可得原极限=
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时，由初等函数的连续性知f (x ，y ) 连续. 下面只考虑x=0(即y 轴) 上点的连续性. 对y 轴