2017年暨南大学经济学院810高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
4． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设向量组
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解
从而
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
线性无关.
方法2:对向量组C ，由于线性无关，且
因为
所以向量组线性无关.
二、分析计算题
6． 先求下列各矩阵在实数域上的初等因子，再求其不变因子和标准形：
【答案】分别用
表示以上两个矩阵
.
因此，素为
的不变因子为
的三阶矩阵即为
在实数域上的初等因子为
故
的不变因子为（秩为3）
因此，主对角线上元素为
7． t 取什么值时，下列二次型是正定的：
（1）（2）
【答案】（1）因为二次型正定的条件是
即
所以这个二次型是正定的条件是
（2）不论t 取何值，所给二次型都不正定.
8． 把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间
，判断向量组
【答案】向量组
是否线性相关？说明理由.
是线性无关的，可用数学归纳法证之.
在实数域上的初等因子为
故主对角线上元
的标准形
.
的四阶对角矩阵即为矗的标准形.
这里的P ，q , 是互不相同的素数.
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