2017年暨南大学经济学院810高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设行列式
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等
C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
使
因此A 与B 合同.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 用
表示i 行j 列的元素为1，而其余元素全为零的
那么当那么当及
时时
当当
时时
且矩阵，
证明：
（1）如果（2）如果【答案】（1）计算
（3）如果A 与所有的n 级矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即A=aE.
由得
（2）计算
及
及且证得所要的结论
.
由
得
证得了所要的结论.
及且还
有且
（3
）由于对所有
时都有由第（2
）小题得
故且A 的对角线以外的元素皆为零，即是数量矩阵.
7．
设
【答案】由题
设
线性相关，从而有
可由
线性表示，从而有
是线性空间V 中线性无关向量组，
而
证明：向量组
线性无关.
线性无关，从
而
均线性相关
，线性无关，
又