2017年江苏大学理学院853高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
的基础解系. 又由
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的3个线性无关的解，为任意
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
二、分析计算题
6． 设
也是V 的一基.
【答案】证法若T 可逆，则其逆若不然，则
反之，若则证法
这里若
’
也是V 的线性变换. 而且必线性相关，矛盾. 故
必线性无关：因为也是的一基.
是数域K 上n 维空间V 的一基. 证明：V 的线性变T 可逆的充要条件是
线性无关，则它也是V 的一基. 从而对任意令
即T 是V 的满射变换. 于是T 是V 的双射变换（若在此直接证
T 是单射变换也很容易），从而是可逆变换.
线性无关，则它是V 的一基. 从而由定理知，存在线性变换S 使
由此得ST=1 （恒等变换）. 于是TST=T，从而
故TS=1，即ST=TS=1, T 可逆。 证法由于从而得证.
7． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
（2）
又因为
所以
设T 在基之下的矩阵为A ，即
是基，线性无关，而且
其中A 、D 都可逆，证明：
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