2017年南京大学地理与海洋科学学院601高等数学甲考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 曲面
【答案】
与平面
，使得曲面在此点的切平面于平
面得，曲面
在的法向量
处的法向量
为
平行，
平行。由曲面方
程，它应该与已知平面
即
，解得
故所求切平面方程为
即
2． 设D 是由
【答案】
所确定的上半圆域，则D 的形心的Y 坐标
_____。
。
平行的切平面的方程是_____。
【解析】由题意，设曲面上有
点
【解析】
3． 设
【答案】0
【解析】考察旋度的计算。
，其中则_____。
4． 设常数k>0, 函数
【答案】当当又
故曲线的个数为2。 5． 计算
【答案】 【解析】原式 6． 设
为球面
则
时, 时,
, 令, 故函数
在内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;
上单调减少。
,
, 故函数f （x ）在
从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值
与x 轴有两个交点, 因此函数在内的零点
=______。
_____。
【答案】
【解析】因
为
关于三个坐标面都对称，
而
奇函数，因而有
7． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
8． 点（1, 1, -1）关于平面
【答案】
，过点
与平面π：
【解析】设所求点为
的对称的点
的坐标是_____。
即
至少关于
且球
面某个变量是
。又所求平面经过点
，
即
故所求平面方程为
垂直的直
线方程为
即
将其代入平面方程得l=1，故直线l 在平面π的投影点为点，由中点坐标公式得
即所求点的坐标为（3, -3, 1）
，则M 是线段PQ 的中
二、计算题
9． 化三重积分
（l ）由双曲抛物面（2）由曲面:（3）由曲面:（4）由曲面。
及平面
为三次积分，其中积分区域
分别是:
所围成的闭区域;
所围成的闭区域;
所围成的在第一卦限内的闭区域。
在
面上的投影区域由
及平面z=1所围成的闭区域; 及:
【答案】（1）的顶z=xy和底面z=0的交线为x 轴和y 轴，故x 轴、y 轴和直线
因此
所围成。于是几可用不等式表示为
（2）
由
（图1）
和
得
，所
以
在
面上的投影区域
为
可用不等式表示为
因此
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