2017年南京大学地理与海洋科学学院601高等数学甲考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。
（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。 （3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。
【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。
2． 设L 为圆周
【答案】-2π 【解析】 3．
【答案】
既是x 的偶函数，也是y 的偶函数，而积分域
关于两个坐标轴
_____。
。
的正向，则
_____。
时的右极限
及左极限
都存在且相等是
存在_____条
的_____条件，
是f （x ）
存在的_____条件。
存在是f （x ）
【解析】由于都对称，则
4． 已知曲线
【答案】【解析】
则=_____。
5． 函数
【答案】【解析】构造函数
由方程
。则
所确定，则
_____。
，则该商品的边际收益为_____。 （p 为商品价格）
6． 设某商品的需求函数为
【答案】
【解析】边际收益。
7． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.
【答案】3
c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.
8． 与积分方程
【答案】注：1°方程
等价的微分方程初值问题是_____。
的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达
式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，
故积分方程应理解为
2
°由于积分方程
后，有恒等式
确定了隐函数
因此积分方程中的y 取
即
显
于是上式两端对x 求导，就得
然，当
时，即
二、计算题
9． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
，在区间[0, 1]上，
2
2
2
10．计算球体体积时，要求精确度在2%以内. 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少?
【答案】由于是由
知
11．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
由
，得
知，
其中a , b 为常数，又
设