2017年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1, ﹣1, 1）到直线的方程.
【答案】直线
的方向向量
的垂线，求此平面
作过点（1, ﹣1, 1）且以s=（0，﹣1, ﹣1）为法向量的平面
联立
，得垂足
.
. 平面过点（1, ﹣1, 1
）及垂足
所求平面垂直于平面z=0，
设平面方程为
，故有
由此解得B=2D，A=D.因此所求平面方程为
2． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
，即
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
3． 求函数
【答案】
在点
的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
4． 计算下列三角函数值的近似值:
【答案】（1）由
及取
得
（2）由及取
得
5．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
由
，得
其中a , b 为常数，又
设
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
6． 求曲线
，即
。
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
. 。
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
7． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
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