2017年兰州交通大学数学基础与计算之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
是非齐次线性方程组AX=B的一个解，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
也即
由（1），向量组
，于是
2． 设向量组
【答案】对含参数a 和b 的矩阵
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
线性无关，故
，并且
也等于0, 故所给向量组线性无关.
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，由定义知
线性无关.
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1）（2）
【答案】（1）设有关系式
于是
3． 设是m 阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
4． 设
【
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
】
则知E-A 可逆，
且其逆矩阵
5． 已知向量组A
:
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此，向量组A 与B 等价.
又
与不成比例，故R （A ）=2.
B ：
证明A 组与B 组等价，
由
事实上，由
，（k 为正整数），证明E-A 可逆，
并且其逆矩阵
答
案
6． 计算
【答案】
记则原式=又
故，
7． 计算下列各行列式（
（1）
为k 阶行列式）：
其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;
（2）
（3）提示：利用范德蒙德行列式的结果.
（4）其中未写出的元素都是0;
（5）其中
（6）其中
【答案】（1）方法一：化为上三角行列式
上式中最后那个行列式为上三角行列式； 方法二：把
按第二行展开，因
即
的第二行除对角线元素外全为零，故有