2017年北方工业大学线性代数与概率统计(同等学力加试)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 试用施密特法把下列向量组正交化：
（1）
（2）
【答案】⑴
（2）
2． 设
是m 阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
3． 设矩阵
可相似对角化，求x
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
事实上，由
特征向量
有
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根），
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量
方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
4． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
5． 已知线性变换
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
于是即
6． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
7． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】因得
两端取行列式得
8． 在
中取两个基
试求坐标变换公式.
【答案】
记
：到基
:的过渡矩阵为
于
是
故得坐标变换公式为
即从
基
求
故A 可逆. 于是由
及
由定义，AB 与BA 相似.
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