2017年兰州交通大学数学基础与计算之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 验证
并把【答案】因
，
，
为
的一个基，
用这个基线性表示.
据此可知，
用此基线性表示式为
2． 设3阶对称阵A 的特征值为
求A.
【答案】因A 对称，必有正交阵依次取为
的单位化向量，即
使
显然
可
从而
，
对应
故
的特征向量依次为
是
一个基；
与正交，于是可取为方程的单位解向量.
由可知
于是.
3． 由，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
由
也线性无关. 又因
，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故
于是
则知向量组
与
等价，从而
4． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.
5． 设证明A 的特征值只能取1或2.
【答案】设A 是A 的特征值，则
0, 故
则A=1或A=2.
是的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
6． 举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组（2）若有不全为零的数则
线性相关，
（3
）若只有当
线性无关，（4
）若
线性相关，
则可由
，
使亦线性相关. 全为零时，
等式亦线性无关.
线性相关
，
亦线性相关，
则有不全为零的数
同时成立.
【答案】命题（1）是错误的，反例I 取向量它含有零向量，但
并不能由线性表示.
命题（2）是错误的，反例：
取
成立，但
命题（3）是错误的，反例：取此时若有和向量组
都线性相关.
，则向量组
，使
同时成立，因由上而第一式可得
于是，
，同理由第二式得
也是对称阵.
（因A 为对称阵），故
和向量组
线性无关，
也线性无关.
成立，
只有
，
但向量组
再取
，
则有
，则向量组
线性相关，因
使
才能成立，
则
线性表示.
成立，
命题（4）是错误的，反例：
取
均线性相关. 但对此两向量组+存在不全为零的数
7． 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明
【答案】根据矩阵乘积的转置规则，有由定义. 知为对称阵.
8． 求解下列非齐次线性方程组：
（1）
（2）