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一、证明题

1． 证明对黎曼函数

有

(

当

或1时，考虑单侧极限)

【答案】[0, 1]上的黎曼函数的定义为

对于任意的

满足不等式

的正整数q 只有有限个. 设

使得

则

当

(

若

故

2． 证明：若函数

【答案】令

在区间

内二阶可导，且对

有

将

与

在

点作泰勒展开，有

于

是，对任给的

有

3． 设在

上可积. 证明：

对右边第一个积分作代换

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为既约真分数，则

取

若

，使得则

当

因而P 也只有有限个. 于是在(0, 1)

内只有有限多个既约真分数

内不含这有限个既约真分数.

则当) 时，有

有则对

(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为

则得

于是

(1) 若(2) 若

为奇函数，则为偶函数，则

故

故

二、解答题

4． 设

（1）

（2）

（3）

使得使得使得

则

（2）令

（3）令

5． 计算曲线积分

其中为圆周：

L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

6． 设

其中

为由方程

得

听确定的隐函数，求

及

则

则

于是

于是

试作数列：

于是

【答案】⑴令

【答案】由方程

因

故

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7． 讨论级数

的敛散性.

【答案】用柯西收敛准则.

取

让自然数适当大，取

显

然

考

察

因此

这里用到了

8． 试作适当变换，把下列二重积分为单重积分：

其中

其中

【答案】(1) 经过极坐标变换后

(2) 积分区域D 如图1 所示，由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数，知积分值等于4 倍的第一象限部分有

所以

上的积分值，其中

，应用极坐标变换，

其中D 为圆域：

，其中

(当适当大时) . 由柯西收敛准则可知，原级数发散.

注意到，

当

时，

有

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