2017年延边大学理学院623数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由
证明：级数
收敛.
知，当n 充分大时有
所以级数收敛. 由条件
知 2． 设
与
求证
：
有相同的敛散性，从而
显然有
于是
收敛.
【答案】令
3． 设
在
上连续，且满足条件
求证：
即
.
为一常数.
【答案】由条件得
二、解答题
4． 设f (x ，y ) 在开半平面补充定
义
上二元连续，固定y ，极限
存在，在y 轴上函数
上二元连续. 考虑例子
：
后，问函数f (x , y ) 是否
在
【答案】不一定. 如函数f (x ，y ) 恒为常数，显然结论是对的. 但对所给的函数，补充定义后的函数为
令
则
所以f (X , y) 在
上不是二元连续函数.
5． 应用比较原则判别下列级数的敛散性：
(1) (3) (5) (7) (9)
【答案】(1) 因(2) 因(3) 因(4) 当(5) 因(6) 因(7) 因(8) 因收敛，所以级数
(9) 因而级数(10) 因为而
收敛，故级数
收敛.
收敛.
时，
而级数而级数而级数而级数 (2) (4)
(6) (8)
(10) 而级数
收敛，故
收敛. . 收敛. 发散.
发敛.
收敛. 发散.
发散.
而级数
收敛，故级数发散，故级数而级数
收敛，故级数
收敛，故级数
. 发散，故级数
发散，故级数(
时) ，故
，而级数
所以因此
而
收敛，由比较原则，可知级数
收敛.
6． 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
【答案】(1) 设
对求偏导数，并令它们都等于0, 则令
解之得
由于当(2) 设
-时，
故函数必在惟一稳定点处取得极小值，极小值
.. ，令
解方程组得
小值也是极小值，所以极小值
(3)
处取得最
由于当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，故f 一定在惟一稳定点
解方程组得x , y , z 的六组值为：