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2017年延边大学理学院623数学分析考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设

【答案】由

证明:级数

收敛.

知,当n 充分大时有

所以级数收敛. 由条件

知 2. 设

求证

有相同的敛散性,从而

显然有

于是

收敛.

【答案】令

3. 设

上连续,且满足条件

求证:

.

为一常数.

【答案】由条件得

二、解答题

4. 设f (x ,y ) 在开半平面补充定

上二元连续,固定y ,极限

存在,在y 轴上函数

上二元连续. 考虑例子

后,问函数f (x , y ) 是否

【答案】不一定. 如函数f (x ,y ) 恒为常数,显然结论是对的. 但对所给的函数,补充定义后的函数为

所以f (X , y) 在

上不是二元连续函数.

5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性:

(1) (3) (5) (7) (9)

【答案】(1) 因(2) 因(3) 因(4) 当(5) 因(6) 因(7) 因(8) 因收敛,所以级数

(9) 因而级数(10) 因为而

收敛,故级数

收敛.

收敛.

时,

而级数而级数而级数而级数 (2) (4)

(6) (8)

(10) 而级数

收敛,故

收敛. . 收敛. 发散.

发敛.

收敛. 发散.

发散.

而级数

收敛,故级数发散,故级数而级数

收敛,故级数

收敛,故级数

. 发散,故级数

发散,故级数(

时) ,故

,而级数

所以因此

收敛,由比较原则,可知级数

收敛.

6. 应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:

【答案】(1) 设

对求偏导数,并令它们都等于0, 则令

解之得

由于当(2) 设

-时,

故函数必在惟一稳定点处取得极小值,极小值

.. ,令

解方程组得

小值也是极小值,所以极小值

(3)

处取得最

由于当n 个正数的积一定时,其和必有最小值,故f 一定在惟一稳定点

解方程组得x , y , z 的六组值为: