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一、证明题

1． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数

使得对上任意两点

都有

证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的

取则当

且时，有

故f 在I 上一致连续.

2． 证明：若函数

在区间

内二阶可导，且对

有则对

有

【答案】令

将

与

在

点作泰勒展开，有

是，对任给的

有

3． 设函数在

上二阶可导

，证明存在一点

使得

【答案】

在

和

的一阶泰勒公式分别为

由此得到

于是

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于

其中

4． 设

(1) 若(2) 若

或并且满足

求证：

则f 为单射，g 为满射；

则f 与g 互为反函数.

由条件得

，

即

使得即f 为单射.

故g 为满射

；

则由条件推出

【答案】(1

)

二、解答题

5． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。

图

【答案】椭圆柱面的方程为性质有

解得

于是

故所求体积

6． 求下列不定积分：

设垂直于X 轴的截面面积为

则由相似三角形的

【答案】

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7． 设

【答案】方法一作变量代换

则

方法二因为

所以

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