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一、证明题

1． 设

和在点

的某邻域内存在 有：

即有

于是有

故

.

2． 设函数

【答案】令

证明则

故

3． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.

【答案】设而由

及

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在点连续，证明则

也存在，且

的邻域可微，从而由微分

【答案】对于固定的

与

令中值定理，

存在，且命题得证.

证明：函数也

则

注意到

则有

即v 也满足拉普拉斯方程.

4． 设

在有限区间上有定义. 证明：

对

设

从而

若

由

即

在上非一致连续，则

. 由

故

中相应的子列

在上一致连g

若

是中的柯西列，则

且

存在正整数

存在

虽然

，

因

当

时有

时有但

池是柯西列.

【答案】

在上一致连续，则

为柯西列

.

对

有界，因此

是中的柯西列，

则对上述的

中存在收敛子列

也收敛于相同的极限，

从而穿插之后序列亦收敛，即为柯西列，

但其像序列

恒有

，不是柯西列，矛盾. 所以在上一致连续.

二、解答题

5． 计算三重积分

其中

是由曲面

与对积分

所围的区域. 采用“先二后一”的方

【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称，所以法，则有

6． 讨论下列无穷积分的收敛性：

【答案】（1）

由柯西判别法知，由柯西判别法知

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收敛。

收敛。

由柯西判别法的推论2知，由柯西判别法知，

（5）当敛。

当（6）当且仅当当

，

时

. 时，积分

综上所述，当且仅当

7． 设V

是

中有界区域，其体积为

关于平面

收敛.

对于

收敛。

时.

时，

故此时

对汙

由于

时

.

发散。

收敛。

故此时

收

发散。 由于

故

故当且仅

收敛. 否则，发散。 V

的边界是光滑闭曲面

对称，

是

的外向法矢与正x 轴的夹角，求【答案】由高斯公式

令

由于V 关于面

对称，则对应的V 关于面

而平移变换不改变立体的体积. 所以

从而

8． 求以下数列的上、下极限

【答案】（1）当n 为偶数时，没有其他的聚点. 故

（2）令

则由数列

的偶数项、奇数项组成的数列分别是

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对称，且

当n 为奇数时，而数列