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一、证明题

1． 分别用确界原理及区间套定理证明：若

使得.

则是非空有界数集.

记

【答案】(1) 利用确界原理答:

构造数集

，往证则(反证法). (2)

利用区间套定理证明设

若在分点处有区间套定理，存在唯一的

2． 证明曲线

【答案】设

所对应的点为

则

法线斜率为

所以过点

的法线方程为

化简得

3． 设

证明:【答案】

因为

对一切

原点(0, 0) 到法线的距离在

所以

当

时有

于是

因于是

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在上单调递增，

且

则

则

在每个区间往证

利用二等分法构造区间套的端点处函数值异号，由

则结论成立，否则

上任一点的法线到原点距离等于a.

上可积，且

在上可积，从而有界，所以使得

因当

时，

有

所以对

当时有

故

4． 证明

：

【答案】

由于所以上式综上可得

，

二、解答题

5． 设

(1) 幂级数(2) 数项级数【答案】(1) (2) 考虑幂级数设

因

故该幂级数收敛半径为

从而

令

可得

，所以

为等差数列的收敛半径； 的和数.

所以收敛半径

且收敛域为

试求：

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6． 设

（1）若在某（2）证明若

内有则在某

问是否必有

内有

保不等式性只能从内

所

以即

所以存在

，

则当

使得当时

，

时，有

即在空心

邻域

即

内

有

但

由

于

所以存

在

使得

当

推出

例如，

取

为什么？

【答案】（1

）不一定有

则在0的任一空心邻域

（2）

令

时，有

同时，由于取 7． 设

因

为

求证递推公式：

【答案】因为

所以

8． 求函数数.

【答案】易见u

在点得 9． 设

（1）

（2）

（3）

使得使得使得

则

（2）令

则

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在点处沿方向1 (其方向角分别为处可微，故由

) 的方向导

试作数列：

于是

于是

【答案】⑴令