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一、证明题

1． 证明公式

【答案】

2． 设

【答案】方法一由于是当

时，有

即方法二设

由所以

3． 证明下列各题：

(1) (2) (3)

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证明：

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使

令

可得

上一致收敛； 上一致收敛；

(i ) 在(4) (5)

(1) 因为【答案】一致收敛.

(2) 因为(3) (ii ) 取

上一致收敛；在上不一致收敛；

上一致收敛； 上一致收敛。

收敛，所以

上

收敛，所以__所以

对任何

令

在

上一致收敛. 上一致收敛.

所以

(4) 而且(5)

4． 设当

时

在上不一致收敛.

收敛，所以

收敛，所以而

从而

证明：

上一致收敛.

上一致收敛.

两者中至多有一个在x=0连续.

因为

时

这与题设

矛盾. 故f 与g 两

【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，

则

(x ) , 所以

者中至多有一个在x=0连续.

二、解答题

5． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：

【答案】(1) 因为所以

(2) 因为所以

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6． 求幂级数

【答案】由于

的收敛域及和函数.

因此另外

因此幕级数

的收敛域为

及和函数为

的收敛域

7． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由：

(1) (2) (3) (4) (5)

【答案】(1) 任意

设

则

所以(2) 任意

在D 上一致收敛，且表达式可知时，只要

则有

当x=0时，

所以

故

从而

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在D 上一致收敛，且

设

则

故从而(3) 由当

所以在上不一致收敛.