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一、证明题

1． 设

【答案】因为又由

与

是[a, b]上的单调函数，证明：若

与

都绝对收敛，则

在

[a, b]上绝对且一致收敛.

是[a, b]上的单调函数，故对任意

> 均绝对收敛，

得收敛，从而

在[a, b]上

一致收敛，即在[a，b]上绝对且一致收敛.

2． 用区间套定理证明确界原理.

【答案】设是非空有上界的数集，b 是S 的一个上界，a 不是S 的上界，显然令

区间

且

令

于是有

且

如此下去，得一区间套由区间套定理知，存在

首先，其次，界，故

3． 举例说明：若级数

此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数

若P 为某一个固定的数，则

但级数

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. 于是得

若

是的上界，则取

若不是的上界，则取..

若

是的上界，

则取

若

不是的上界，

则取，

，其具有性质：不是S 的上界，是S 的上界

且

因而

所以当n 充分大时有

往证

即是的一个上界.

而不是的上界，所y 不是的上

有因为

对每个固定的p 满足条件

发散.

4． 证明

:

【答案】

故

二、解答题

5． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性：

(1

)

(2

) 【答案】(1) 因为

所以

②当

时，

当x=l时，

在[0, 1]上连续，而极限函数f (x ) 在[0, 1]上不连续，所以{f(x ) }在[0, 1]上不一致收敛.

③因为

所以(2

) 而

所以

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故

在(0, 1) 上不一致收敛.

6． 设有一质量分布不均匀的半圆弧它对原点

(0，0) 处质量为m 的质点的引力.

【答案】设引力系数为k ，则对任一点(x , y) ，有

。其线密度(a 为常数) ，求

故

且

7． （1）用定义证明

：

（2）求【答案】（1）

取

则当

时，

（2）

8． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

（2）

9． 设f (x ，y ) 在开半平面补充定

义

上二元连续，固定y ，极限

存在，在y 轴上函数

上二元连续. 考虑例子

：

（2）

后，问函数f (x , y ) 是否

在

【答案】不一定. 如函数f (x ，y ) 恒为常数，显然结论是对的. 但对所给的函数，补充定义后的

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