2017年厦门大学数学科学学院616数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为[0, 1]上的连续函数列，
满足
证明
【答案】
由
又
由有
注意到对于每一个
存
2． 设
收敛
，
证明
：
的前n
项和
则
对上式两边取极限，从而
即
3． 设
为无穷小数列，
为有界数列，证明：存在正整数N ,
当所以
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且
存
在
有
对任意的
，
使
得则对任意的从
而
在[0，1]上一致收敛.
知，对任意
的
为[0, 1]上的连续函数列，故存
在，由开覆盖定理，存
在
为单调递增数列，现令
在
有
由此得到满足上述要求的覆盖[0, 1]的开区间
族
【答案】记级数
为无穷小数列.
又因为
为无
时，
有为无穷小数列.
因此，当n>N时
，
【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有
故
穷小数列，
所以对任给
4． 应用
(1) (2)
证明：
在任何
上
一致收敛，
【答案】(1) 证法一：由于
所以
另外
所以
证法二：
(2) 由
在任何
上
一致收敛，所以
另外
所以
二、解答题
5． 将下列函数展开成麦克劳林级数：
(1) (2) (3) (4) (5) 【答案】⑴而
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所以当
时，有
(2) 由于
所以
因而
(3) 因为
所以
从而
(4)
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