2018年重庆理工大学理学院820数理统计之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
2． 证明:若
则对
有
），因此，
是充分统计量.
与
是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
是充分统计量.
就可算得
并由此写出与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
3． 证明:容量为2的样本
【答案】
4． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
时，（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
的方差为
的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，
这就证明了
5． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
6． 证明下列事件的运算公式:
（1）（2）
【答案】（1）右边=（2）利用（1）
有
=左边. , 所以