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一、计算题

1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为

，与n 无关.

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出

•

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记

（2）设其中

. 以下对n 用归纳法:

，则

»

，代入可得

由归纳法知结论成立.

2． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位:小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

3． 如果X 的密度函数为

试求

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有

【答案】因为密度函数P （x ）的图形如图

.

图

因此所求概率为

4． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0, 得到如下似然方程组

，（忽略常数项）将其分别对

求

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有

的可能性使每箱中

下求n ，使

成立. 利用二项分布的正态近似，可得

查表可得

由此解得产品.

6． 若

【答案】

5．

某产品的合格品率为至少有100个合格产品.

【答案】设包装箱中装有n 个产品，其中合格品数记为X ，则有

即每箱装有104个产品，能有的可能性使每箱中至少有100个合格

其中试求

.

7． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验

已知

样本容量.

【答案】由于本题中正态总体的方差已知，对于单侧假设检验问题，拒绝域的形式为其中

若取显著性水平

查表得知

取

若要求当

中的

时犯第二类错误的概率不超过0.05, 求所需的

即检验的拒绝域为即

，于是，当

时，检验犯第二类错误的概率应满足

由于是的减函数，因此只需满足即可，由此可解得.

8． 为了研宄本厂产品垫片与国内外同类产品在耐磨性能上的差别，特选国外一家产品、国内两家产品与本厂产品进行磨损试验，其试验数据用磨损率表示，它是愈小愈好. 磨损率的计算公式是

具体数据如下表所示:

表

1

试在正态分布假设下对比四家同类产品的磨损率均值有无显著差异，若有显著差异，再作多重比较

.

【答案】首先计算各平方和

把这些平方和转移至如下方差分析表上，继续计算

表2