2018年华中农业大学资源与环境学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体概率函数如下，
（1）（2）
【答案】（1）似然函数为将
关于
求导并令其为0即得到似然方程
解之得
由于
所以是的最大似然估计. （2）似然函数为将解之可得
由于
这说明是的最大似然估计.
其对数似然函数为
关于求导并令其为0得到似然方程
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
已知,
其对数似然函数为
2． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.
【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-l 个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为
.
3． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.
【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题. 由题设条件查表知
，
于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
，现抽取了一个容量
试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95
，
即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
4． 设随机变量X 在区间
（2）Y 的概率密度（3）求概率【答案】 （1）
（2）当当（3） 5． 设
是来自
的样本，试求
的分布.
故
又故
与
独立，于是
6． 设总体无偏估计.
【答案】由于总体
这给出
.
上服从均匀分布. 试求:
上服从均匀分布, 而Y 在区间
；
； .
（1）X 和Y 的联合概率密度
及时,
时,
【答案】由条件，
且与服从二元正态分布，
是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 使为的
于是
若要使
为的无偏估计，即
7． 设
为自由度为n 的t 变量，试证:
的极限分布为标准正态分布
其中
故的特征函数为
这给出
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
再按依概率收敛性知
这就证明了
8． 设下:
表
设两样本独立，取（1）检验假设
（2）利用（1）的结果，检验【答案】以. （1）由于故对假设检验问题
分别表示来自两个总体的样本的样本均值，
别为两个样本量，此处m=7，n=5.
，且二者独立，
，在原假设成立下，检验统计量
拒绝域为
或
的极限分布为标准正态分布
注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.
, 从总体X 与总体Y 各取容量分别为7和5的样本，具体如
，
分别为其样本方差，m , n 分
，
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