2018年吉林大学南方研究院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设在区间上的均匀分布
而
上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
则
相互独立，且都服从区间
和
的密度函数分别为
又因为
所以
解法二:n 个点把区间随机取的，所以此
而相距最远的两点间的距离为 2． 设满足
【答案】由于要使上述概率即
等价于要使是来自正态总体
的最小n 值.
所以有分布的
表
分位数
不大于
满足上述不等式的最小n 可用搜索法获得，如下表:
的一个样本.
是样本方差，试求
因此所求期望为
分成
段，它们的长度依次记为
因为此n 个点是
因
具有相同的分布，从而有相同的数学期望. 而我们的目的是求
【答案】解法一:分别记此n 个点
由此可见，当就可使上述不等式成立.
3． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位:h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求:此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
4． 某服装店根据历年销售资料得知:一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为
表
1
试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】
5． 设随机变量U 服从
上的均匀分布，定义X 和Y 如下:
试求【答案】先求
的分布列. 因为
的可能取值是
所以
，其中
综上可得的分布列
表
此分布对称，所以
6． 系统由n 个部件组成. 记
从而得
为第i 个部件能持续工作的时间，如果
独立同分布，
且
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为
（1）根据题意，系统持续工作的时间为所以，当这是参数为
时，密度函数的指数分布，所以
而当
时
所以，当
时
所以系统持续工作的平均时间为
7． 某种产品由20个相同部件连接而成，每个部件的长度是均值为机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度，
则
可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
所以不合格品率为
8． 设
记（1）
的方差
为来自总体
求:
（2）根据题意，系统持续工作的时间为
标准差为的随
时为合格品，为总长度，且
的简单随机样本, 为样本均值,