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一、计算题

1． 设随机变量

服从柯西分布，其密度函数为

试证:

当

时，有

即

结论得证.

2． 某商品一周的需求量X 是随机变量, 已知X 的概率密度为

假设各周的需求量相互独立, 以（1）

和

的概率密度

表示k 周的总需求量, 试求:

的概率密度均为

于是, 两周和三周的总需求量

和

的概率密度分别为

（2）设

是随机变量X 的分布函数, 则连续三周中的周最大需求量

于是, 有

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【答案】对任意的

（2）接连三周中的周最大需求量的概率密度【答案】以而（1）当

时,

表示第i 周的需求量, 则

对于

连续三周中的周最大需求量为

由卷积公式有

的分布函数为

3． 某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响. 现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表:

表

1

（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在三种方法对含水率有无显著影响；

（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间.

【答案】 （1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表:

表

2

下检验这

三个平方和分别为

据此可建立方差分析表:

表

3

在显著性水平由于

下，查表得

故拒绝域为

，

，故认为因子A （储藏方法）是显著的，

即三种不同储藏方法对粮食的含水率有显著影响. 检验的p 值为

（2）每种水平含水率的均值估计分别为

而误差方差的无偏估计为若取

则

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，因而

，

于是三个水平均值的0.95置信区间分别为

4． 设

与

独立同分布，其共同分布为

试求

与

的相关系数，

其中a 与b 为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

5． 口袋中有5个白球和3个黑球, 任意取出一个, 如果是黑球则这个黑球不再放回而另放人一个白球. 这样继续下去直到取出的球是白球为止, 求直到取到白球所需要抽取次数X 的概率分布.

【答案】设故得:

即知X 的概率分布如下

表

6． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表1

表示“第i 次取到白球”,

则X 的可能取值为1、2、3、4.

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