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一、证明题

1． 设

为m 个正数, 证明:

【答案】设, 则

由于

因此

2． 设函数f 在

上二阶可导,

, 证明存在一点

, 使得

【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为

t

由此得到

于是

其中

或

, 并且满足

.

3． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 且f （0）=0, f （1）=1, 求证:

【答案】设v （x ）满足

显然

满足（2）式. 于是

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所以 4． 设

【答案】要证即只要证因

故

证明只要证

即证

. 即（1）式成立.

因此只要证由由这表明

知,

即只要证知,

单调增加, 假如因此

；

有上界, 则矛盾

.

必有极限a ,

单调增加、没有上界, 因此

二、计算题

5． 用抛物线法近似计算

【答案】当n=2时,

当n=4时,

当n=6时,

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（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.

6

． 将函数

【答案】记

展开为傅氏级数.

, 因为f （x ）是奇函数, 所以

, 且

即得

7． 试求下列极限（包括非正常极限）:

（1）（2

）（3

）（4）（5）（6）（7）

【答案】（1）因为当

时,

故

（2）原式=（3）原式=

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