2018年中山大学数学与计算科学学院663数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 重积分
【答案】先画出区域
其中
是由曲面
与
所围成的区域.
（见图）:
的图形, 并求出两曲面的交线为z=1平面上的圆:
图
由对称性知
2． 求最小实数C , 使得满足
【答案】一方面
另一方面, 如果取
, 则有
. 而
由此可知, 最小实数C=2.
的连续函数f （x ）都有
.
3． 设
, 求
【答案】
4． 函数
在上的拉格朗日中值公式为
求当
时的极限值.
其中且
是与
及x 有关的量, 对
【答案】
解得
由洛必达法则
由
5． 已知
级数
发散, 求证级数知, 级数
也发散.
均为正项级数.
【答案】反证法由
假设级数收敛, 则于是有
从而由正项级数的比较判别法知级数
6． 求出函数
收敛, 这与题设矛盾, 所以原命题成立.
在（1, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.
【答案】利用一元函数的泰勒公式, 有
其中
.
二、证明题
7． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在
有
【答案】由由及对故
8． 利用单调有界原理证明下列结论:
（1）设（2）设（3）
设且相等.
【答案】（1）因为
, 所以{Xn }单调递增. 由不等式
上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对
. 证明:
.
, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明
可推得, 当
时,
有
（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,
所以
, 于是取
, 当
时有
, 从而
, 由b>1可知存在正整数N , 使得
, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;
, 则
与
都存在
得
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