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一、证明题

1． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时

,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

即当

上

时,

, 则

证明g 为连续函数.

. 对于任给的;

设

, 存在,

由

,

使得当知g 由保不等式故g （x ）在

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足

证明:

【答案】显然, , 有

对上式从0到1积分, 得

在上式两边同乘以正数

, 得

最后一步的不等式是根据函数

有最大值而得到的.

3． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列, 则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,

则利用二等分法构造区间套

,

使得f （x ）在每个区间上无界. 由区间套定理, 存在唯一的

然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.

4． 设函数f 在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

【答案】因为

因而取存在

, 使得

5． 设

是无界数列, 又因为

界数列.

6． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

注意到

可得

证明:存在

, 使得

, 则函数F 和G 在[a, b]上满足柯西中值定理的条件. 于是

是无穷大数列. 证明:必为无界数列.

存在自然数N ,

当因此

即

时,

有是无

有

【答案】

因为是无穷大数列,

所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在

, 作正则变换, 区域D 变为, 如果变换

7． 用

方法证明:

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即

二、解答题

8． 半径为r 的球体沉入水中, 其比重与水相同. 试问将球体从水中捞出需作多少功？

【答案】如图所示, 取一水平层的微元, 对此微元需作功

图

9． 求不定积分

【答案】注意到

设

, 由（1）式, 则有