2018年中国石油大学(北京)理学院661数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
【答案】由可推出进一步, 由由设
单调递增且有上界, 知
则有的构造, 知
得收敛.
所以
即
, 则至少存在一点
. 则
, 使得在点
. 连续, 证明则
即有 于是有
故
4． 证明:若
【答案】
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则数列收敛, 并求其极限.
为严格单调递増数列.
2． 证明:若f （x
）在有限开区间内可导, 且
.
f x ）【答案】补充定义（在a , b 的值如下:上满足罗尔中值定理的条件, 于是存在一点
3． 设和在点的某邻域内存在,
【答案】对于固定的x 0
与分中值定理,
有:
令
,
使
在闭区间
也存在, 且
在y 0的邻域可微, 从而由微
存在, 且存在, 则
命题得证.
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5．
设f （x ）在（a
, b ）内可导,
使得
且
【答案】取y>0足够大, 使得
则有
再由拉格朗日定理,
使得
联合（1）式与（2）式,
即得
6． 设是集合E 的全体聚点所成的点集,
【答案】因为
是
的一个聚点,
所以
, 且
是的一个聚点. 试证:
自
又因为
, 因此.
即是E
的一个聚点, 所以
设
又因为
’, 求证:
,
是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以
7． 设f
（x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:
【答案】记
.
取
,
由微分中值定理, 有
t
即
于是
, 有
对上式两边, 分别关于x 1和x 2在
和
上积分, 可得
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即
进而有
这就是所谓的内插不等式.
二、解答题
8． 设
2
求它在（1, 0）点的偏导数.
, 同样因. , 所以
,
,
, 所以. , 同样因
.
【答案】方法一 因f （x , 0）=x, 所以方法二 因
得
可见求具体点的偏导数值时, 第一种方法较好.
9． 求下列函数的导数:
（1）（2）
【答案】（1）
求, 求
和和
.
（2）
10．设
, 应用链式法则计算
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【答案】把w 看作以下三个变换的复合