2018年山西师范大学教育科学研究院809数学综合[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
有. 又因为
则f 在I 上严格增.
使.
当并且）, 和
, 所以
（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
（2
）设有两个实数由使得当
而当
, 满足可知
,
时,
时
,
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
两点连续.
,
存在
, 从而,
从而
. 再由
故f 在I 上严格递增.
2． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当
【答案】由题设条件可得
故
所以
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因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在
.
对于正数
（设；
.
存在有理数
知,
时, 有
3． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在
【答案】因为k , 使得 4． 设
证明
的充要条件是
则时, 有则
即
即当
时, 有当
时, 有
即
在于是
上有界, 所以存在
即
故
使得对任意
正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期, 因而
上有界, 则f 在R 上有界.
有
对于任意
, 必存在惟一整数
在R 上有界.
【答案】必要性, 若对
取充分性, 若则当
时, 有
当
, 又因为所以
对取
二、解答题
5． 计算下列第一型曲面积分:
（1）（2）（3）（4）
, 其中S 为上半球面其中S 为立体, 其中S 为柱面
;
的边界曲面;
被平面z=0, z=H所截取的部分;
. 其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.
【答案】（1）因
从而
（2）面积S 由两部分S 1, S 2组成, 其中S 1:影区域都是
, 由极坐标变换可得
（3）（4）
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, S 2
:, 它们在:xOy 面上的投
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6
． （1）问
【答案】（1）因为
从而
即f （X ）是以1为周期的周期函数, 其图像如图所示.
图
（2）不一定 例如, 函数
7． 判断积分
【答案】（1）当
时,
易知:当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
所以不论
取何值, 一定有
发散.
的收敛性, 其中p 和q 是参数.
就不是周期函数.
是否是周期函数？并画出它的图形（其中
, 所以
:表示x 的整数部分）
;
按
的定义, 即得
（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？
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