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一、证明题

1． 利用

【答案】因为

为递增数列的结论, 证明

为递增数列, 所以

即

从而

所以数列

是递增数列.

为递增数列.

2． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以知,

在（a , b ）内连续

.

于是

, 由x 0的任意性

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

都存在. 再由导数

二、解答题

3． 求螺旋线

【答案】

则

4． 设有半径为r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为, 在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小.

【答案】如图所示, 在处, 从

到

的一段导线的电量微元为

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对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L

, 它对圆心处的单位

正电荷在垂直方向上的引力为

r

故导线与电荷的作用力为

图

5． 应用拉格朗日乘数法, 求下列函数的条件极值:

（1）（2）

（3）

【答案】（1）设

,

若

, 若x ＋7－1=0;

若

（其中x , y , z , t>0, f>0）;

对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则令

解之得

由于当（2）设

时

,

故函数必在惟一稳定点处取得极小值, 极小值

令

解方程组得x=y=z=t=c

由于当n 个正数的积一定时, 其和必有最小值, 故f 一定在惟一稳定点（c , c , c , c ）处取得最小值也是极小值, 所以极小值f （c , c , c , c ）=4c.

（3）设

令

解方程组得x , y , z 的六组值为:

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又

因此极小值

在有界闭集上连续, 故有最值.

极大值

6．

设

（1）求证:

【答案】（

1）令

则

同理

所以 （2）

要使

只要

所以

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,

;

.

（2）f

（r ）是什么函数时

,