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一、证明题

1． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

其中

介于与x 之间.

又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故

从而 2． 设

为递减正项数列, 证明:级数

的部分和为

与级数

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列, 故

故若:又有

故若同.

收敛,

则

也收敛；

若

发散,

则

也发散. 由上可知两级数的敛散性相

收敛,

则

也收敛；若

发散, 则

也发散.

由定理得

有

【答案】设级数

3． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:

（1）（2）（3）

上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结

【答案】（1）知

且f （x ）周期延拓后在

上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得

即

（2）知

又f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 由帕塞瓦尔等式, 得

故（3）知

且f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 故

即

4． 设f 为

上的连续减函数,

; 又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

5． 试用定义证明:

（1）数列（2）数列敛于极限a.

（1

）取

,

则

,

当

不以1为极限. 因此, 数列,

是无界的. 设a 是任意一个实数, 取

之外, 否则

有界.

故数列

,

则不

中有无穷多个项落在

时

,

于是,

数列

中有无穷多个项落在

不以1为极限; 发散.

若在

之外数列

中的项至多只有有限个, 则称数列

收

【答案】定义:任给

之外. 由定义知, （2）当n 为偶数时

于是, 数列

收敛于任何一个数, 即数列发散.

6． 设u=u（x , y , z ）, v=v（x , y , z ）和x=x（s , t ）, y=y（s , t ）, z=z（s , t ）都有连续的一阶偏导数.

证明:

【答案】

7． 设

证明:（1）【答案】（1）记

. （2）

为的代数余子式（

）, 于是