2018年厦门大学数学科学学院616数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,
证明:
绝对收敛
存在且
. , 则有
从而
故=>:因为导数定义有
当
绝对收敛时, 只能有绝对收敛.
绝对收敛, 所以
, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则使得 , 使得
, ’
使得
,
使得
. , 因为
,
使
与
.
的敛散性相同, 矛盾）.
【答案】:由于
存在.
2． 设序列X n 无上界, 求证:存在子序列
【答案】对于
对于对于对于
这样产生一子序列
使得
, 由广义极限不等式推出
3． 证明:若f （x
）在有限开区间内可导, 且
.
f x ）【答案】补充定义（在a , b 的值如下:, 使得上满足罗尔中值定理的条件, 于是存在一点
4． 试证明有上界而无下界.
【答案】数集为对于任意一个正数M , 令
对任意的
而
.
, 则至少存在一点
. 则
在闭区间
故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因
二、解答题
5． 已知f （x
）是
上的连续函数, 它在x=0的某个邻域内满足关系式
且f （x ）在点x=l处可导, 求曲线y=f（x ）在点（1, f （1））处的切线方程. 【答案】令sinx=t, 注意到当
时
,
且sinx 〜X , arcsint 〜t. 题设条件可改写为
又因为f （x ）在点x=l处可导, 所以
将（1）式代入改写了的题设条件（2）式, 得到
从而, 所求切线方程为y=2（x-1）.
6． 设a>0, 求曲线
【答案】设数为
对L 求偏导并令它们都等于0得
上的点到xy 平面的最大与最小距离.
为曲线上任一点, 易知z>0, P 到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函
解之得
或
因此〔
值点在其中取得.
由于d=z在有界闭集
上存在最大值与最小值, 因此
）与（
）是
的稳定点, 且所求的条件极
与时z=a就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.
7． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数:
（1）
（2）
【答案】（1）因
求求
所以由反函数组定理, 得
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（2
）关于x
求偏导数得
解之得
8． 计算
【答案】由
令
推得
令
则有
9． 设
【答案】
令
即 10．计算:
其中
为
中z ≥0的部分.
, 求f （x
）.
. 则
【答案】化简并利用高斯公式得