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一、证明题

1． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I

上任意两点

都有

证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续. 2． 设

证明:

取

, 则当

且

时, 有

【答案】构造函数

Taylor 展开可以证明,

所以又因为

所以原命题成立.

3． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对

【答案】

,

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递增.

有, 则

由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知

4． 设

有

,

故当

时有f （X ）=0

卿f （1）=0.从而

, 且存在正实数

与

利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为

, 有

所以 5． 设

是有界闭集，

是D 上的连续函数.

证明：f （x , y ）在D 上有界，且一定取到最大值和最小值. 【答案】①f （x , y ）在D 上有界，用反证法来证明： 若f 无界，则

且

, 即f

:

, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.

, 对一切

, .

因为f （x ）在点x=l左连续, 所以

f

:

有

有f （x ）=0. 满足

所以由连续性，

，这与已知条件矛盾，所以f （x , y ）在D 上有界.

②f （x , y ）在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明. 由确界原理，知

存在，即

且

再由连续性和有界性得，

同理可得f （x , y ）在D 上有最小值.

6． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且

求证:

（1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点

, 使得

（见图）:

【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点

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图

显然

, 否则

, 这与

矛盾. 又因为

否则由凹函数的最大值在端点达到, 导致于是有所以导致

（2）令

又根据第（1）小题,

, 使得

有一个零点,

这f" （X

）>0矛盾

, 注意到由

推出, 所以

»

于是

故有

即

. 再由F （x ）的连续性, 存在

, 使得

. 即

.

, 使得

在（0, 1）内有两个零点

, , 这又与

. 又因为f （x ）在[0, 1]上连续,

矛盾.

如果f （x ）在（0, 1）内有三个零点, 由罗尔定理, 函数

二、解答题

7．

计算曲面积分所围的立体的表面的外侧

.

【答案】设S 1, S 2, S3分别为S 的上、下底面和圆柱侧面, 则

记S 1+S2在xOy 平面上的投影区域为D xy , 则

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, 其中S 是曲面及两个平面z=R, z=-R （R>0）