2018年北华大学林学院629数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
若
其中
则
而
正是泊松分布的特征函数，故得证.
且X 与Y 独立，
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的特征函数，由唯一性定理知
是未知参数
的两个UMVUE , 则
3． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
4． 证明:若明:
分布与
2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
的任一无偏估计的C 一R 下界为
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出
是0的无偏估计，则已知
于是
几乎处处成立.
它也是的相
由此立即可得
5．
设总体
【答案】令
，则
几乎处处成立，即
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知，当
6． 设总体单随机样本. 证明:
（1）
是
的无偏估计量但
不是是
的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故
又即证
是的无偏估计量, 但
不是
的无偏估计量.
即证
是
的无偏估计.
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
.
（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中是来自总体的简
（2）样本函数
【答案】 （1）由题意知, 又则
相互独立, 且
（2）由得
7． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认 8． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
是充分统计量.
就可算得
与是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
），因此，是充分统计量.
分别为样本的均值
也相互独立,
所以
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
时,
相互独立知,
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,