2018年北华大学林学院629数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
2． 设
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
为独立的随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
的一个样本，若均值已知，
的有效估计；
是的无偏估计，但不是有效估计. 知
. 为了获得
的元偏估计的C-R 的独立性可得
【答案】因为
3． 设
证明: （1）（2）
是来自正态总体
是
【答案】（1）由下界，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而
的无偏估计的C-R 下界为
无偏估计的方差相等，故此
是
，
的有效估计.
此下界与上述（2）由于
可见，
，即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从而的元偏估计的C-R 下界为由于无偏估计的方差此处，
，
，故不是的有效估计.
的无偏估计的C-R 下界与的方差的比为
，
该比值常称为无偏估计的效.
4． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
所以X 与
不独立.
:
且密度函数所以
是偶函数，假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关.
为证明
5． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）
（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
6． 设为独立的随机变量序列，证明:若诸的方差一致有界，即存在常数c 使得
则服从大数定律.
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
7． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于
故
服从大数定律.
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
因而
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
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