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一、证明题

1． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的

，

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

2． 若事件A 与B 互不相容，且

，证明:

【答案】

3． 证明:容量为2的样本

【答案】

4． 设随机变量

【答案】

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的方差为

，试证明:

5． 设

即它不是有效估计.

【答案】设

，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，

是0的任一无偏估计，则

»

即

将

式两端对求导，并注意到

，有

这说明我们将

，即

.

式的两端再对求导，得

由此可以得到，记

则

9

从而，进一步，

6． 设

证明【答案】

为

的UMVUE.

，C-R 下界为.

.

故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.

诸

是充分统计量. 的联合密度函数为

注意到

是已知常数，令

独立，

是已知常数，

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取

由因子分解定理，

7． 设

是来自

是

的样本，证明

为

的充分统计量. 没有无偏估计.

的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

8． 设二维随机变量

服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为

是来自该总体的样本，

证明:二维统计量

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处，

故

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

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【答案】（反证法）假设

处不存在导数.

没有无偏估计.

是该二元正态分布族的充分统计量.