2018年北华大学林学院629数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
2． 设
则
时，
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
一致有界，即存在常数c 使得
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
的方差
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
3． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
常记为
时，记Y=X, 试证
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
这正是参数为为
（2）当所以
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由于当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
证明
则
也服从
从而
4． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
5． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
都是分布函数，故
当
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
时，
有
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
且
（3）右连续性.
6． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
7． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
所以
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
存在
当
时，一致地
时，
证明:
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