2018年北京大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 一个人的血型为A , B , AB ，0型的概率分别为0.37，0.21, 0.08, 0.34. 现任意挑选四个人，试求:
（1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率.
2, 3, 4人血型依次为A ，B ，AB ，0. 则“四人的血型全不相同”共有【答案】（1）若第1，种可能情况，而每种情况出现的概率都是0.37×0.21×0.08×0.34, 于是所求概率为
（2）所求概率为
P （血型全相同）=P（全为A 型）+P（全为B 型）+P（全为AB 型）+P（全为0型）
2． 设随机向量
满足条件
其中
【答案】对等式由此解得
同理，对等式同理，对等式进一步
当
时，对等
式
的两边求方差可得
的两边求方差可得
的两边求期望
得
将上面三个式子分别代入
的表达式中，可得
所以
有
由此可得
均为常数，求相关系数
的两边求方差得
3． （泊松大数定律）设的概率为
【答案】记
为n 次独立试验中事件A 出现的次数，而事件A 在第i 次试验时出现
则对任意的
有
则
所以由切比雪夫不等式，对任意的
有
即
4． 系统由n 个部件组成. 记
为第i 个部件能持续工作的时间，如果
独立同分布，
且
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为
（1）根据题意，系统持续工作的时间为所以，当这是参数为
时，密度函数的指数分布，所以
而当
时
所以，当
时
所以系统持续工作的平均时间为
5． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10, 53, 46. 按照某种遗传模型其频率之比应为
，问数据与模型是否相符？
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.
若记三类出现的概率分别为
则要检验的假设为
（2）根据题意，系统持续工作的时间为
r
此处.
用最大似然法估计P. 其似然函数为
再微分法可得于是从而
查表知因此不能拒绝
，故拒绝域为
观察结果
不落在拒绝域，
，即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为
，
，
‘由于含有一个未知参数P , 需要将之估计出来，
6． 一本500页的书共有500个错误，若每个错误等可能地出现在每一页上（每一页上至少有500个印刷符号）. 试求指定的一页上至少有三个错误的概率.
【答案】设X 为指定一页上错误的个数，则
且p=1/500.所求的概率为
利用二项分布的泊松近似，取
于是上述概率的近似值为
7． 设随机变量X 服从正态分布
（1）求
的置信水平为
的置信区间； 已知, 的置信水平为
的置信区间为
.
（2）要想使
未知. 在X 的10个观测值的平均值
时.
的置信水平为0.95的置信区间的长度不超过1, 则n 至少取多大？
【答案】 （1）由于所以正态总体数学期望由题设知故
的置信水平为0.95的置信区间为
的置信水平为0.95的置信区间为
（2）当观测值个数为n 时,