2017年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III
）由于
2． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
3． 从正态总体中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
4． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 有相同的边际密度函数. 存在，试证明： （1）（2） 5． 设X 为非负连续随机变量，若 【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利 用 得 （2）因为X 为非负连续随机变量，所以 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得 令 则 6． 证明:对任意常数c , d , 有 【答案】 由 得 因而结论成立. 7． 设是参数的无偏估计，且有 【答案】由方差的定义可知 ， 因而 所以 8． 设 （1）（2）（3） 不是的无偏估计. 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计， 试证 不是的无偏估计. 由于 是参数的无偏估计， 即 在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？ 【答案】先求三个统计量的数学期望， 这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为 则