2017年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明： （1）（2）【答案】（1）由
是
的有效估计； 是知
的无偏估计，但不是有效估计.
为了获得
的元偏估计的C-R 下界，
是来自正态总体
的一个样本，若均值μ已知，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
是
的有效估计.
此下界与上述无偏估计的方
差相等，故此
（2）由于
可见，
即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从
而
的元偏估计的C-R 下界
为故
不是
2． 设
证明:
由于无偏估
计
的方
差
的有效估计. 此处
，的无偏估计的C-R
下界与
的方差的比为
该比值常称为无偏估计的效.
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且
所以
【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
存在，试证明：
（1）（2）
3． 设X 为非负连续随机变量，若
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利
用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
证明:
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
则
故有
即X 与Z 不独立.
成立.
5． 设A ，B 为任意两个事件，且
【答案】
6． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
7． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 8． 设连续随机变量 独立同分布, 试证: 【答案】设诸而事件 从而该事件的概率为 独立，由此得 即 的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.