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一、证明题

1． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）

，

由

对上式右端积分作变量变换y=c-t，则

再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则

结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图表示：

【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知

图

2． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

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弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

在

当

再令

上一致收

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由（2）式知,

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

由于的任意性, 所以

4． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中时, 时, 有

3． （格涅坚科大数定律）设

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

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将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

5 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.

6． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

7． 设

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

的样

该无偏估计为

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）. 中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

否则均值不存在）, 当r=2

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

, 且X 与Y 独立,

则

是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

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