当前位置：问答库＞考研试题

目录

2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（一）.... 2 2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（二）.. 10 2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（三）.. 18 2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（四）.. 28 2017年北京市培养单位动物研究所803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（五）.. 36

第 1 页，共 42 页

一、证明题

1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且

记

（2）设其中

以下对n 用归纳法：

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有

则

代入可得

由归纳法知结论成立.

2． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.

【答案】因为令

则

的逆变换为

, 所以

此变换的雅可比行列式为

所以（U , V ）的联合密度函数为

由此得U=XY的边际密度函数为

这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.

3． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

其中

, 而

第 2 页，共 42 页

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

是取自该总体的简单随机样本,

为样本均值, 为

又

由此,

4． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

5． 记

证明

【答案】

由

得

第 3 页，共 42 页

6． 设服从多项分布其概率函数为：

其中即

为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet

分布

7． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

它们的关系为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

，其中

第 4 页，共 42 页